CEROS Y RAÍCES DE FUNCIONES

Llamamos ceros o raíces de una función f a los valores de x para los cuales se cumple que f(x)=0. Los ceros de una función son las abscisas de los puntos en los cuales su gráfica tiene contacto con el eje de las x.

Cuando graficamos una función cuadrática cuyo dominio es R, puede ocurrir que la parábola tenga contacto con el eje x en dos puntos, o en uno solo, o bien que no tenga contacto. Las abscisas de los puntos de contacto son las raíces reales o ceros de la función. Si no tiene contacto con el eje x, la función no tiene raíces reales.

EJEMPLO 1

Ejemplos:

Busquemos las raíces de h(x)= x² - 1 ( a=1, b=0, c= -1)

Planteamos ------------->x² - 1=0

Despejamos x ---------->x² = .......=> |x|= Ö 1 =>

|x|= 1 =>x1=1 o x2= -1

Los valores x1=1 o x2= -1 son los puntos en los que el gráfico de esta función interseca al eje x.

EJEMPO 2

Busquemos las raíces de g(x)= x² + 2 ( a=1, b=0, c= 2 )

Planteamos ------------->x² + 2 =0

Despejamos x ---------->x² = -2

Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo, g(x) no tiene raíces reales, es decir, no tiene puntos de contacto con el eje x.

EJEMPLO 3

Busquemos las raíces de g(x)= (x -3 )²

Planteamos -------------> ( x - 3 )² =0

Despejamos x ----------> x - 3 = Ö 0

x - 3 = 0 => x = 3

El valor x=3 es el único punto en el que el gráfico de esta función interseca al eje x, dicho punto coincide con su vértice, en este caso la raíz se llama doble.

EJEMPLO 4

Busquemos las raíces de g (x)= x ² + 4x ( a=1, b=4, c= 0)

Planteamos ---------------> x ² + 4x = 0

Extraemos factor común x--> x (x + 4 ) = 0

Si x (x + 4 ) = 0 => x=0 o x + 4 =0

Despejamos x ----------> x + 4 = 0 => x = -4

Los valores x1= 0 o x2= -4 son los puntos en los que el gráfico de esta función interseca al eje x.

EJEMPLO 5

Busquemos las raíces de g (x)= x ² + 2x - 3 ( a=1, b=2, c= -3)

Planteamos -------------> x ² + 2x - 3 =0

Aquí no podemos despejar x (Inténtalo!), ni extraer factor común.

Las ecuaciones que planteamos para buscar las raíces de una función cuadrática, es decir, la ecuación que puede escribirse en la forma: ax ² + bx + c =0, con a distinto de 0, recibe el nombre de ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado.

Algoritmo de la división. Para cada polinomio de grado mayor o igual a uno y para cada número , existe un polinomio único de un grado menor que el de y un número único R, tal que:

Al polinomio se le denomina cociente, en el divisor y R es el residuo.

Teorema del residuo. Si  es el residuo de dividir el polinomio  entre , entonces .

EJEMPLO :6

Como  por el algoritmo de la división, se tiene que si , .
O sea, .

EJEMPLO 7

Hállese el residuo de dividir el polinomio  entre .

Solución.
se puede escribir como , por tanto .
.
.
O sea que el residuo es 2.

Teorema del factor. Si  es un cero del polinomio , entonces  es un factor de .
Demostración.
Si  es un cero de , .
Pero por el algoritmo de la división .
Como , .
Por tanto,  y .

EJEMPLO 8

Use el teorema del factor para probar que  es un factor de .
Solución.
, así .
.
Luego –1 es un cero de .
Así  es un factor de .

Teorema de los n ceros. Todo polinomio de grado  con coeficientes reales o complejos se puede expresar como el producto de n factores lineales.
Por tanto, tiene exactamente n ceros, no necesariamente distintos.

Ejemplo 9.
Si –2 es un cero de multiplicidad 2 de , escríbase  como un producto de factores lineales.
Solución.
Como –2 es un cero de multiplicidad 2, se tiene que,
.
.
.
.
Al usar la formula cuadrática, se hallan los ceros de  que son , .
Así,  escrito como el producto de factores lineales es,
            .

Teorema de los ceros complejos. Los ceros complejos de polinomios con coeficientes reales, si existen, se presentan en pares conjugados.
Como consecuencia del teorema anterior, se sabe que si un polinomio con coeficientes reales es de grado impar, siempre tiene al menos un cero real.

Ejemplo 10.
Si  es un polinomio de tercer grado con coeficientes reales, entonces una de las siguientes afirmaciones es falsa:
            a.  tiene al menos un cero real.
            b.  tiene tres ceros.
            c.  puede tener dos ceros reales y uno complejo.
Solución.
La afirmación c. es falsa dado que los ceros complejos de polinomios con coeficientes reales deben presentarse en pares conjugados. Si  tienen dos ceros reales, entonces el tercer cero debe ser también real.

Regla de los signos de descartes. Dado un polinomio  con coeficientes reales, entonces:

El número de ceros reales positivos de nunca esa mayor que el número de variaciones en el signo de , si es menor, entonces siempre será en un número par .
El número de ceros reales negativos de nunca es mayor que el número de variaciones en el signo de , si es menor, entonces siempre será en un número par.

Se va a entender que, en un polinomio con coeficientes reales ordenado en forma decreciente, ocurre una variación en el signo si dos términos sucesivos tiene signos opuestos. Los términos no existentes, o sea los términos con coeficientes cero, se ignoran.

Ejemplo 11.
En , hay 3 variaciones en el signo, por tanto existen 3 ó 1 raíces reales positivas.

.
.
En hay una variación en el signo, por tanto existe una raíz real negativa.

DIVICION SINTÉTICA

La división sintética es un procedimiento "abreviado" para determinar el cociente y el residuo que se obtiene al dividir un polinomio de grado $n, \, \, \, n \geq 1$ , por un polinomio de la forma $x-\alpha$ , con $\alpha \in I \!\!R$ , a partir de los coeficiente de y el cero de $x-\alpha$ .

El procedimiento que usaremos para realizar la división sintética de un polinomio , por un polinomio de la forma $x-\alpha$ , lo ilustraremos a través de ejemplos.

EJEMPLO 12

Sean y polinomios tales que:

$P(x) = 4x^3+3x^2-5x+2; \, \, \, \, Q(x) = x-3$

Determine el cociente y el residuo que se obtiene al dividir por :

Por lo que al dividir por se obtiene como cociente y 122 como residuo.

b) Usando división sintética, se divide por de la siguiente manera:

Donde los números 4, 15 y 40 son los coeficientes del cociente y 122 el residuo de la división.
Observe que, según la parte (a) de este ejercicio, los números obtenidos en la tercera fila son los coeficientes del cociente y el residuo, como se muestra en el esquema anterior.
Los números representados en la primera fila son los coeficientes de (dividendo) y el cero de  (divisor).
Los números representados en la segunda fila se obtienen de la siguiente forma:
12 es el producto de 4 y 3
45 es el producto de 15 y 3
120 es el producto de 40 y 3
Los números representados en la tercera fila se obtienen de la siguiente forma:
4 es el coeficiente de  en
15 es la suma de 3 y 12
40 es la suma de -5 y 45
122 es la suma de 2 y 120

EJEMPLO13

Sean  y  polinomios tales que: $P(x) = -8x^3+x^4-16+2x; \, \, \, Q(x) = x-8$ .
Usando división sintética, determine el cociente  y el residuo  que se obtiene al dividir  por .
Solución:

Ordenando  en forma desendiente de acuerdo a su grado, se obtiene:
, y realizando la división se tiene:

Los números 1, 0, 0 y 2 son coeficientes del cociente. Y el número 0 es el residuo.

Por lo que  o sea  y
Nota: Observe que al realizar la división sintética, tanto los coeficientes del dividendo que son diferentes de cero, como los que son iguales a cero, debem escribirse.

EJEMPLO 14

Sean  y  polinomios tales que:  y
Usando división sintética determine el cociente  y .
Solución:
Como  y el cero  es -4 tenemos que:

Por lo tanto el cociente que se obtiene, al dividir  por  es  y el residuo es -68.

EJEMPLO 15

Sea  un polinomio tal que: ; usando división sintética determine  y

Solución:

Recuerde que $P(\alpha)$ es igual al residuo que se obtiene al dividir  por $x-\alpha$ .
Efectuando las divisiones correspondientes se tiene:

EJEMPLO 16

Gráfica funciones polinómicas

Representamos los puntos de corte (-2, 0) (1, 0) y (0, 2)

El máximo ( -1, 4), el mínimo ( 1, 0 ) y el punto de inflexión (0, 2)

Dibujamos con ayuda del crecimiento, decrecimiento y las ramas infinitas

Las funciones polinómicas tienen como dominio todo los números reales y no tienen asíntotas. En este apartado lo más importante es calcular los puntos de corte con los ejes de coordenadas.

Derivadas

De la derivada primera obtenemos el crecimiento , decrecimiento y los puntos críticos o puntos singulares es decir los posibles máximos y minimos.

Con la derivada segunda confirmamos los máximos y mínimos y obtenemos la curvatura y los puntos de inflexión.

EJEMPLO 17

EJEMPLO 18

EJEMPLO 19