MATEMATICAS IV :O: APLICAS FUNCIONES RACIONALES

BLOQUE 6

FUNCIÓN RACIONAL

la función racional son de tipo

El dominio de una función racional de la forma todos los números reales menos los valores de x que anula
el denominador

EJEMPLO 1
un tipo de función racional es la función de proporcionalidad inversa de ecuación

sus gráficas son hipérbolas

Construcción de hipérbolas

Las hipérbolas

son las más sencillas de representar.

sus asintotas son los ejes

el centro de la hipérbola que es el punto donde se cortan las asintotas es el origen
función

a partir de estas hipérbolas se obtienen otras por translacion

translacion vertical

ecuación

El centro de la hipérbola es: (0, a).

Si a>0, se desplaza hacia arriba a unidades.

EJEMPLO 2

gráfica

el centro de la hipérbola es (0,3)

Si a<0, se desplaza hacia abajo a unidades.
EJEMPLO 3 gráfica

el centro de la hipérbola es (0,-3)

2. Traslación horizontal

el centro de hipérbola es (-b,0)

Si b> 0, se desplaza a la izquierda b unidades
EJEMPLO 4

gráfica

el centro de la hipérbola es (-3,0)

Si b<0, se desplaza a la derecha b unidades.
EJEMPLO 5

el centro de la hiperbola es (3,0)

3. Traslación oblicua

El centro de la hiperbola es (-b,a)

el centro de la hipérbola es (3,4)

para representar hipérbolas de tipo

se divide

su representación gráfica es una hipérbola de centro (-b, a) y de asintotas paralelas a los ejes

el centro de la hipérbola es (-1,3)

donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen sudominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.¹

La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.

Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.

función racional de segundo grado

$y = \cfrac{x^2 -3x -2}{x^2 -4}$

función racional de grado 3

$y = \cfrac{x^3 -2x}{2(x^2 -5)}$

Dada una función racional:

$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \qquad P(x),Q(x)\in \R[x]$

Si el denominador es un polinómico mónico $\scriptstyle Q(x)$ con k raíces diferentes, entonces admitirá la siguiente factorización en términos de polinomio irreducibles:

$\begin{cases} Q(x) = (x-r_1)^{m_1} (x-r_2)^{m_2} \dots (x-r_k)^{m_k} (x^2+s_1x+t_1)^{n_1} \dots (x^2+s_lx+t_l)^{n_l}\\ k,l,m_i,n_j\in \mathbb{N},\ r_p,s_p,t_p \in \R \end{cases}$

Si $\scriptstyle \mbox{gr}(P) < \mbox{gr}(Q)$ entonces la función racional puede escribirse como combinación lineal de fracciones racionales de las formas:

$\begin{matrix} f_1(x) = \cfrac{1}{(x-r_i)} & f_2(x)= \cfrac{1}{(x-r_i)^{u}} \\ f_3(x) = \cfrac{1}{x^2+a^2} & f_4(x) = \cfrac{1}{(x^2+a^2)^{v}} \\ f_5(x) = \cfrac{x}{x^2+a^2} & f_6(x) = \cfrac{x}{(x^2+a^2)^{w}} \end{matrix}$

Por lo que la integral de la función $\scriptstyle f_i(x)$ es una combinación lineal de funciones de la forma $\scriptstyle F_i(x)$ :

$\begin{matrix} F_1(x) = \ln(x-r_i) & F_2(x)= \cfrac{1-u}{(x-r_i)^{u-1}} \\ F_3(x) = \cfrac{1}{a}\arctan \cfrac{x}{a} & F_4(x) = \cfrac{1}{2a^2}\left( \cfrac{x}{(v-1)(x^2+a^2)^{v-1}} + \cfrac{2v-3}{v-1} \int \cfrac{dx}{(x^2+a^2)^{v-1}} \right) \\ F_5(x) = \cfrac{1}{2}\ln(x^2+a^2) & F_6(x) = \cfrac{-1}{2(w-1)(x^2+a^2)^{w-1}} \end{matrix}$

MATEMATICAS IV :O

sábado, 20 de abril de 2013

APLICAS FUNCIONES RACIONALES

Construcción de hipérbolas

2. Traslación horizontal

3. Traslación oblicua

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