BLOQUE 3 EMPLEAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADO 0 1 Y 2

MODELO GENERAL DE LAS FUNCIONES  POLINOMIALES

La función polinomial se llama así porque generalmente su expresión algebraica es un polinomio;su forma general es:

Como un polinomio de grado n puede tener a lo sumo n
ra´ıces reales, la gr´afica de una funci´on polin´omica de grado n
corta al eje 0X como mucho en n ocasiones y tendr´a tambi´en
como mucho n−1 cumbres (m´aximos relativos) o valles (m´ınimos
relativos).

La función afín: FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 1 que tiene en su variable equis el exponente uno.

La forma de esta función de grado uno es la ecuación de la línea recta, que tiene su gráfica como aparece  de forma oblicua.

y = m x + b

La función cuadrática:

FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 2

Se denomina función cuadrática a toda función de la forma:

Y = ax²+ bx+ c que representa a una expresión cuadrática, donde a (distinto de 0), b y c son números reales.

Su gráfica es una parábola.

La función cúbica:

FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 3

Se denomina función cúbica a toda función de la forma:

y= ax³ + bx² + cx+ d; donde a (distinto de 0), b, c y d son números reales.

EJEMPLO 1

Las funciones polinómicas son aquellas cuya 

expresión es un polinomio, como por ejemplo: 

f(x)=3x4-5x+6 

EJEMPLO 2

#las de grado cero como f(x)=2, son rectas 

horizontales; 

# las de grado uno, como f(x)=2x+4, son rectas 

oblicuas; 

# las de grado dos, como f(x)=2x2+4x+3, son

parábolas cuyo eje es paralelo al de ordenadas. 

EJEMPLO 3

Funciones de primer grado 

Término independiente

En cualquier función f(x) el corte de su gráfica con el 

eje OY o eje de ordenadas, es el punto (0, f(0)), por 

tanto su valor en cero define el corte con el eje de 

ordenadas. 

En el caso de las funciones polinómicas f(0) coincide 

con el coeficiente de grado cero o término 

independiente de la función, por tanto nada más ver 

la expresión ya reconocemos un punto de su gráfica, 

el corte en el eje de ordenadas 

EJEMPLO 4

función de primer grado

EJEMPLO 5

FUNCIONES POLINOMIALES DE  SEGUNDO GRADO

Las funciones polinómicas de segundo grado son funciones cuya expresión algebraica es de la forma f(x)=ax²+bx+c, con a≠0.

Su gráfica es una curva con dos ramas, una creciente y otra decreciente, que se llama parábola.

El vértice de una parábola es el punto en el que la función pasa de ser creciente a decreciente, o viceversa. Sus coordenadas son: 

La recta que pasa por el vértice y es paralela al eje Y, es el eje de simetría. Divide a la curva en dos partes simétricas.

EJEMPLO  6

Y = ax²+ bx+ c que representa a una expresión cuadrática, donde a (distinto de 0), b y c son números reales.

Su gráfica es una parábola.

EJEMPLO 7

EJEMPLO 8

Dada la siguiente parábola, averigua su ecuación :

. Es negativo porque la parábola es hacia abajo. Y vale -2 porque si  avanza 1 desde el vértice, la variable  baja 2 unidades.

 porque es el punto de corte de la función con el eje de ordenadas.

La coordenada  del vértice es 2; de la ecuación del eje de simetría  se obtiene que .

Por tanto, la ecuación de la parábola es .

EJEMPLO 9

Ahora, realizamos el ejercicio contrario.

Dibuja la parábola cuya expresión algebraica es: 

Sabemos que es una función polinómica de segundo grado, es decir, su gráfica es una parábola.

Como el coeficiente de  es mayor que cero, la parábola es hacia arriba.

Hallamaos la coordenada  del vértice:

.

Sustituimos en la ecuación de la parábola:

Por tanto, el vértice está en el punto .

El término independiente es 1, luego corta en el eje de ordenadas en el punto .

Damos algunos valores y basta darlos a partir de  porque ahí tiene el eje de simetría:

EJEMPLO 10

La gráfica de una función polinomial de grado 0, que es de la forma f(x) = a es una  horizontal

EJEMPLO 11

1. f(x) = 7. Es de grado cero, se le conoce como función constante

EJEMPLO 12

UNA FUNCIÓN CUBICA PUEDE TENER TRES RAÍCES REALES DISTINTAS

pueden  tener dos raíces reales distintas  (en este caso, una de ellas es una raíz doble)

EJEMPLO 13

f(x) = x3/5 + 4×2/5 - 7x/5 - 2 = 1/5 (x+5)(x+1)(x-2)

EJEMPLO  14

Polinomio de grado 4:

f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5

EJEMPLO 15

 Graficar la función ƒ(x) = x⁴ + x³ - 11x² - 9x + 18 en el intervalo de valores de −4 a 4 con con diferencia entre valores de 1.

Primero se evalúa numéricamente ƒ(x) para cada uno de los valores de x y se definen las coordenadas de cada uno de los puntos:

x	ƒ(x)	(x, ƒ(x))
-4	70	(-4, 70)
-3	0	(-3, 0)
-2	0	(-2, 0)
-1	16	(-1, 16)
0	18	(0, 18)
1	0	(1, 0)
2	-20	(2, -20)
3	0	(3, 0)
4	126	(4, 126)

De la gráfica podemos observar que en una función polinomial el valor de la función cuando x = 0 es igual al término independiente del polinomio. Esto es porque todos los términos que contienen a la variable se eliminan al hacer cero la variable. También podemos observar que el valor de la función cuando x = 1 es igual a la suma de los coeficientes del polinomio. Esto es porque cuando la variable toma el valor uno, los exponentes no alteran el valor de la variable porque el número uno al ser elevado a cualquier exponente sigue siendo uno.

Como siguiente paso se dibujan los puntos en el plano cartesiano como se muestra en la figura.

Finalmente  se uen los puntos con una curva  continua

EJEMPLO 16

Ahora observa que la función evaluada en x = 1, o en x = 0, o en x = 1 hace que f(x) = 0, y

que la factorización queda:

y = x

3-x = x (x + 1) . (x + 1)

Es decir, si r es una raíz de la función polinomial y = f(x) de grado n, entonces podemos

factorizarla como:

y = f(x) = (x  r) g(x)

Donde g(x) es otra función polinomial de grado n  1.

Sea y = Pn(x) una función polinomial de grado n. Si r es una de sus raíces, entonces la función

polinomial puede dividirse exactamente entre x  r.

Si la función se divide exactamente entre x  r entonces se puede factorizar como:

y = Pn(x) = (x  r) Qn1(x)

donde Qn1(x) es otro polinomio de grado n  1. Entonces,

Pn(r) = (r  r) Qn(r) = 0 Qn(r) = 0

Esto nos indica que r es una raíz de la función.

EJEMPLO 17

Las gráficas de las funciones polinómicas de 1º grado f(x)=ax+b son rectas, "cuesta arriba" si a>0 y "cuesta abajo" si a<0, es decir, a determina la pendiente de la recta y b nos da un punto de la recta: el punto de corte con el eje y

Las funciones polinómicas de 2º grado f(x)=ax²+bx+c representan parábolas cuyo eje de simetría es paralelo al eje y. Son valles, si a>0, y montañas, si a<0; a determina la concavidad de la parábola. Entre b y a se halla el eje de simetría: x=-b/2a y c nos da el punto de corte con el eje y

Las cúbicas: f(x)=ax³+bx²+cx+d son como sillas, unas con el asiento hundido y otras sin hundir, podemos observar que el signo de a decide si el respaldo de la silla está a la derecha o a la izquierda y todas son simétricas respecto del punto en el que la x vale -b/3a, punto de inflexión

EJEMPLO  18

¿ las funciones de grado 4 son simétricas respecto del eje x= -b/4a?

La respuesta es que no todas las funciones de grado 4 son simétricas, pero las que lo son, tienen su eje de simetría en x=-b/4a

En general las funciones polinómicas de grado par que son simétricas lo son respecto del eje x=-b/na y las de grado impar que son simétricas, lo son respecto del punto de su gráfica en que x=-b/na, siendo n el grado de la función, a el coeficiente de máximo grado y b el coeficiente de grado n-1. Pero esto será objeto de estudio en otra unidad.

EJEMPLO 19

                           

b : corte eje y 

a:  pendiente ( inclinación )

-b/a corte eje x

 simetría  respecto a cualquier punto portando respecto (-b/a, 0)

EJEMPLO 20

DE SEGUNDO GRADO

                       

TERCER GRADO