BLOQUE 1 RECONOCES Y REALIZAS OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

FUNCIONES:

Una función es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes, quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello.  Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y.  La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes.  Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores  que toma Y constituye su recorrido".

Para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe cumplir dos condiciones, a saber:

1. Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen.
La imagen de cada elemento x E A debe ser única. Es decir, ningún elemento del dominio puede tener más de una imagen.2. El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f.

    

puedes entender una función como una manera de conectar elementos de un conjunto "A" a los de otro conjunto "B":

FUNCIÓN   INYECTIVA

Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la función, las y no se repiten.

Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.

EJEMPLO 1: Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: f(x) = x2 – 2 x –2 –1 0 1 2 f(x) 2 –1 –2 –1 2

Primero elaboramos una tabla de pares ordenados y luego graficamos

EJEMPLO 2: Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: g(x) = 1 – x3. Primero elaboramos una tabla de pares ordenados y luego graficamos.

x	–2	–1	0	1	2
g(x)	9	2	1	0	–7

EJEMPLO  3

Una función biyectiva sería, por ejemplo, cualquier línea que no sea ni plana ni vertical.

EJEMPLO  4

una función f: X --> Y es inyectiva si a cada valor del conjunto X (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de Y . Es decir, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen. En el ejemplo el dominio es el conjunto P de los lápices y la imagen el conjunto C de los perritos.

  

ESTA NO ES FUNCIÓN
INYECTIVA





EJEMPLO 5 : Sea A={1,2,3} B={1,2,3}; f: A→B: f={(1,2), (2,1), (3,3)}
Es decir, gráficamente queda:

Nótese que cada elemento del
conjunto B recibe solamente una línea.
ENTONCES ES INYECTIVA.



EJEMPLO  6

Sea A={1,2,3} B={1,2,3}; 

f: A.B:

 f={(1,2), (2,1), (3,2)}

(solo se cambio el número indicado en rojo) Gráficamente:

Hay un elemento de B (el número 2) que recibe dos flechas o líneas, por lo tanto

NO ES INYECTIVA.

EJEMPLO  7

Para la siguiente función: f(x) = y = x-1.  A cada elemento del domino se le relaciona en la función con UN elemento de la imagen,

Por lo tanto ES INYECTIVA.

NOTA: El domino y la imagen son todos los reales:

EJEMPLO 8

Si la función fuera parábola, f(x)=x² como la que se muestra a continuación:

Hay elementos en el domino que se le asigna el mismo valor de la imagen; por ejemplo la pareja de valores P1(2,4) tiene el mismo valor de la imagen 4; que el punto P2(-2,4). Por lo tanto la

función

NO ES INYECTIVA.

NOTA: Ahora el domino y la imagen son diferentes:

EJEMPLO 10

EJEMPLO 11: f(x) = x² del conjunto de los números naturales  a  es una función inyectiva.

EJEMPLO 12:

Aquí los pares ordenados son:  ( -1, -26 ), ( 10, a ) , ( 0, 0 ); para cada valor del recorrido existe un solo valor en el dominio.

Una función f se 
dice que es uno uno si para cada pareja de elementos diferentes en el dominio de f, x₁ x_{2 ,} se tiene también elementos diferentes en el recorrido de f,  f(x₁)  f(x₂).

EJEMPLO 13

La siguiente ilustración muestra una función que no es uno – uno

Cómo determinar que una función es uno – uno cuando dan la ecuación:

Escoge valores arbitrarios;  al igualar valores del recorrido se debe obtener los correspondientes valores iguales para el dominio.

Si f(x₁) = f(x₂) entonces  ver que x₁ = x₂

Ejemplo 14

Ver si F(x) = 2x es una función 1-1.

Considera dos variables dependientes arbitrarios.

F(x₁) = F(x₂) IGUALES valores del recorrido

2x₁ = 2 x₂  (sustituye la regla)

x₁ = x₂ (al dividir por 2 ambos lados ) IGUALES valores del dominio

F(x) = 2x es una función 1-1.                                                    

Ejemplo 15

Una función creciente o decreciente en todo su dominio es una 

función uno-uno.

Usa la Prueba de la línea horizontal:  si cualquier línea horizontal toca la gráfica de una función en más de un punto, entonces NO es la gráfica de una función 1-1.

 EJEMPLO 16

EJEMPLO 17

Ejemplos de gráficas de funciones 1 –1.

EJEMPLO 18

Ejemplos de gráficas de funciones que NO son uno-uno.

EJEMPLO 19

Una función f: A--> B se dice inyectiva o uno a unosi y sólo si elementos distintos en A le corresponden imágenes distintas en B.

EJEMPLO 20

De los siguientes ejemplos .¿Cuáles es(son) función(es) inyectiva o uno a uno?

b) No es función inyectiva o uno a uno ya que  f2(3) = 7 y f2(4) = 7  3 es distinto a 4.

c) Es función inyectiva o uno a uno porque imágenes distintas le corresponden pre-imágenes distintas.

d) Es función inyectiva o uno a uno. Porque a cada imagen le corresponde una pre- imagen distinta.

Funcione Suprayectiva

         Una función f entre los conjuntos A y B se dice que es suprayectiva, sobreyectiva o exhaustiva, cuando cada elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Es decir,
        f :A −→ B es suprayectiva ⇐⇒ ∀b ∈ B, ∃a ∈ A tal que f(a) = bEn otras palabras, f es sobreyectiva si la imagen de f es todo el conjunto B, es decir si Img (f) = B.



EJEMPLO 1
si  f  es una funcion de A  en  B decimos que f es una funcion  sobreyectiva  si  su rango es igual a un codominio . la funcion f aplica el conjunto A sobre el conjunto B   ejemplo

F(x)=x²

EJEMPLO 2

EJEMPLO 3

 Sean los conjuntos: 

A = {1,2,3} y 

B = {2,4} 

y la función 

f = {(1,2), (2,2), (3,4)} 

GRÁFICAMENTE

 QUEDA:

Al conjunto B = {2,4} se le llama 

CONDOMINIO

. 

El rango de la función también es I = {2,4} 

Como el condominio y el rango son iguales la función es 

sobreyectiva

  EJEMPLO 4

EJEMPLO 5

Ejemplo: la función f(x) = 2x del conjunto de los números naturales  al de los números pares no negativos es sobreyectiva.

EJEMPLO 6

Otras formas de definirse:

Una función f:  X à Y es sobreyectiva(epiyectiva, suprayectiva, suryectiva, exhaustiva o subyectiva), si esta aplicado sobre todo el codominiio, es decir , cuando a cada elemento  de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X"

EJEMPLO   7

Sean los mismos conjuntos anteriores PERO con la función:  f = {(1,2), (2,2), (3,2)}.

 Gráficamente

El codomino B = {2, 4} El rango o imagen es: I = {2} Como el codominio y el rango NO son iguales la función es 

NO ES SUPRAYECTIVA

En términos de funciones debe ocuparse todo el eje Y, es decir, la imagen deben ser todos los reales.

EJEMPLO 8 

Sean A=[1, 2, 3, 4]; B = [2, 4, 6]
F= [(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 6)]; 

EJEMPLO 9

el condominio está indicado.

f: ℝ → ℝ⁺ | f(x) = 2^x (2 elevado a la "x", es una función exponencial)

Codom = ℝ⁺
Imagen = ℝ⁺ (los resultados son siempre positivos, cualquiera sea el valor de x)

Codom = Imagen ====> La función es sobreyectiva

EJEMPLO 10

Para la sobreyectividad, debes especificar en que conjuntos está definida la función, por ejemplo:
Si se tratara de la siguiente función:

La función no sería sobreyectiva, ya que el conjunto imagen de la función, que son todos los reales sin incluir el 0, no coincide con el conjunto en el cual está definida tu función que son todos los reales.
Pero si tu función está definida así:
 {0} 
Ahora sí la función es sobreyectiva

EJEMPLO 11

Otro ejemplo: la funci on y = x

3

es sobreyectiva, porque para cada valor k que

est e en el rango, es una imagen, de otro valor que se encuentra en el dominio 

EJEMPLO 12

 un ejemplo  de una función que no es sobreyectiva es :

Porque   los valores negativos de y no son imágenes de algún elemento del dominio, esto es no hay valores de  x que hagan que la función devuelva valores negativos 

EJEMPLO 13

otro ejemplo de una función que no es sobreyectiva es :

EJEMPLO 14 

otro ejemplo de función sobreyectiva es 

EJEMPLO 15

Una función  es sobreyectiva, suprayectiva o exhaustiva si todo valor de  se corresponde con un valor de . Simbólicamente:

Es decir, una función  es sobreyectivasi 

EJEMPLO 16

La función , dada por  es sobreyectiva.

EJEMPLO 17

Dados los conjuntos  y , definimos una relación  entre  y  mediante: 

 a) ¿Es  una función de  en ?
 b) ¿Es  una función inyectiva, sobreyectiva o biyectiva?
 c) La relación inversa de  entre  y  ¿es una función? ¿es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva?

SOLUCIÓN

 es una función biyectiva (inyectiva y sobreyectiva). Su inversa también es una función biyectiva

EJEMPLO 18

EJEMPLO 19

EJEMPLO 20

Dados los conjuntos  y , definimos una relación  entre  y  mediante: 

 a) ¿Es S una función?
 b) ¿Es S una función inyectiva, sobreyectiva o biyectiva?
 c) En caso de ser S una función, calcule dominio y rango de S

SOLUCIÓN

S es función no inyectiva ni sobreyectiva ni biyectiva.
 
 

FUNCIÓN BIYECTIVA

En matemáticas una función  es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen  distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Formalmente, dada una función :

La función es biyectiva si se cumple la siguiente condición:

Es decir, si para todo  de  se cumple que existe un único  de , tal que la función evaluada en  es igual a .

Dados dos conjuntos  e  finitos, entonces existirá una biyección entre ambos si y sólo si  e  tienen el mismo número de elementos.

EJEMPLO 1

Como ejemplo la f : / f( x ) = 3.x 5es biyectiva. Más adelante en tus 

estudios verás que ser biyectiva es importante porque asegura que la función 

admita inversa.

NOTA: para que una función sea biyectiva debe salir una y sólo una 

flecha de cada uno de los elementos del Dominio e ir a parar a distintos 

elementos del Codominio. No puede quedar ningún elemento del 

Dominio sin pareja, y ningún elemento del Codominio sin ser pareja de 

alguno del Dominio. 

EJEMPLO 2

Siendo  el conjunto de los números naturales,  el conjunto de los enteros,  el de los reales y  un conjunto finito, se pide:

 a) ¿Existe alguna función inyectiva de  en ?
 b) ¿Existe alguna función biyectiva de  en ?
 a) ¿Existe alguna función inyectiva de  en ?

SOLUCIÓN

Las tres son ciertas

EJEMPLO 3

Ejemplo: Sea f :A −→ B tal que A = B = R y f(x) = 2x − 3, ∀x ∈ A. ¿Es biyectiva?

Solución
Veamos si es inyectiva y suprayectiva.

(a) Inyectiva. Sean x1 y x2 dos n´umeros reales arbitrarios. Entonces,
f(x1) = f(x2) =⇒ 2x1 − 3 = 2x2 − 3 =⇒ 2x1 = 2x2 =⇒ x1 = x2
luego f es inyectiva.

(b) Suprayectiva. Sea y cualquiera de B. Entonces,

y = 2x − 3 ⇐⇒ 2x = y + 3 ⇐⇒ x = y + 3 /2

luego tomando x = y + 3 / 2, se verifica que x ∈ A y
f(x) = f (y + 3) /2 = (2) ((y + 3) / 2) − 3 = y
Consecuentemente,

∀y ∈ B, ∃x ∈ A : f(x) = y              o sea, f es suprayectiva. Por ser inyectiva y suprayectiva, f es biyectiva.

EJEMPLO 4

Ejemplo: La función f(x) = x² del conjunto de números reales positivos al mismo conjunto es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva.

EJEMPLO 5

La función f(x)=y = x-1 es al mismo tiempo, inyectiva y suprayectiva; por lo tanto es biyectiva. 

EJEMPLO 6 

 la funci on identidad: es inyectiva y también  en es sobreyectiva.

EJEMPLO 7

por que es inyectiva y sobreyectiva a ala ves

EJEMPLO 8

Una función biyectiva sería, por ejemplo, cualquier línea que no sea ni plana ni vertical.

EJEMPLO 19

EJEMPLO 10

Si , entonces  es inyectiva y  es sobreyectiva.

Suponga el caso en que  tiene inversas  y  a izquierda y derecha, respectivamente. La existencia de  garantiza que  es la imagen de . Además, la existencia de  garantiza que  es invertible, luego  es función con dominio .
Bajo las anteriores condiciones podemos concluir que  y  son la misma función, y más aún, son iguales a . Veamos la demostración:
Sabemos que , luego . Así, . Ahora, , luego, y así, .
A continuación enunciamos un criterio muy útil para verificar si cierta función es biyectiva:

Teorema    Sean ,  funciones. Si  y , entonces  y  son biyectivas y mutuamente inversas, esto es,  y .

Demostración. [Prueba]Como  tiene a  como inversa a izquierda y derecha, por el corolario 112  es biyectiva. De manera análoga podemos concluir que  es una biyección. Por la demostración anterior al enunciado del teorema concluimos que , Entonces . 

EJEMPLO 11

1. Demuestre que para cualquier conjunto, la función identidad  es una biyección.
2. Diremos que una función  es constante si  es un singleton. Encuentre una condición necesaria y suficiente para que una función constante  sea una biyección.
3. la función  es una biyección. [ ¿Qué ocurriría si no fuera 1:1? ¿Qué ocurriría si no fuera sobreyectiva?].

Note que las propiedades de sobreyectividad y biyectividad no dependen exclusivamente de la función , sino también del conjunto , de modo que, por ejemplo, es más correcto decir:  es una sobreyección de  en .

EJEMPLO 12

Si  y  son biyectivas, entonces  es biyectiva.Si , entonces  es inyectiva y  es sobreyectiva.

EJEMPLO 13

Dominio de f(x) para que sea biyectiva:
En general, una función cuadrática no es Biyectiva en su Dominio Natural (el conjunto de los Reales). Porque casi siempre hay dos valores de "x" para los cuáles el valor de "y" es el mismo. Por ejemplo, en nuestra función:

f(x) = 2x² + 3x

f(1/4) = 2.(1/4)² + 3.(1/4) = 2.(1/16) + 3/4 = 7/8

f(-7/4) = 2.(-7/4)² + 3.(-7/4) = 2.(49/16) - 21/4 = 7/8

Dá igual cuando le aplicamos la función a dos números diferentes: x = 1/4 y x = -7/4. Una función con la que pasa eso no es biyectiva. Pero podemos "restringir el Dominio", es decir: buscar otro Dominio más chico (Subconjunto del Dominio Natural), en donde sí sea biyectiva. Eso es, definirla con un Dominio donde no haya dos valores diferentes de "x" para los cuales la función dé igual.

Y en una función cuadrática, eso se puede hacer fácilmente. Piensa en la gráfica de la función cuadrática: es una parábola. El Eje de Simetría la divide en dos ramas. Si tomamos una sola rama de la parábola, tenemos el gráfico de una función biyectiva. Si definimos la función poniendo como Dominio el Intervalo que abarca una sola de las ramas, logramos que para cada valor de x haya un solo valor de "y", y así la función sea biyectiva. Y ése intervalo es fácil de determinar, porque podemos hallar la x por donde pasa el Eje de Simetría. Con esta fórmula por ejemplo (la misma que sirve para hallar la xv):

x = -b/2a         (EJE DE SIMETRÍA)

Que ya lo hicimos antes, y dá:

x = -3/4
El Eje de Simetría divide al eje x (todos los Reales), en dos partes:

(-∞;-3/4)          (Rama decreciente de la parábola)

(-3/4;+∞)         (Rama creciente de la parábola)

Si tomamos uno de ellos como Dominio, la función es biyectiva. Así restringimos el Dominio. Entonces, para buscar la función inversa, debemos aclarar que:

Dominio (f): (-3/4;+∞)        (por ejemplo, yo elegí ése)

Imagen (f): (-9/8;+∞)

Aclaremos que la Imagen de una función cuadrática es "desde la y_v para arriba o desde la y_v para abajo, según las ramas apunten hacia arriba o hacia abajo". Bien dicho sería: "El intervalo (y_v;+∞), si a > 0 ó el intervalo (-∞;y_v), si a < 0". Como en nuestra función a = 2 > 0, la imagen es (-9/8;+∞)

Así que, para poder definir la función inversa, definimos a f como:

f(x): (-3/4;+8) ----> (-9/8;+8) / f(x) = 2x² + 3x
Y entonces la función inversa (de la que ya encontramos la fórmula), es:

f^-1(x) : (-9/8) ------> (-3/4;+8) / f^-1(x) = V(x + 9/8)/2 - 3/4
Ya que el Dominio de la función inversa f^-1 debe ser la Imagen de la función f, y viceversa.



EJEMPLO 14

Tomando el conjunto de pinceles como conjunto inicial:

y el de caras como conjunto final:

La correspondencia que asocia cada pincel con la cara de su mismo color es una aplicación porque todos los pinceles tienen una cara con su color y solo una cara de ese color, la aplicación es inyectiva porque un pincel corresponde con una sola cara, y es sobreyectiva porque todas las caras tiene un pincel de su color, al ser inyectiva y sobreyectiva simultáneamente esta aplicación es biyectiva.

Una aplicación biyectiva hace corresponder los elementos del conjunto inicial con los del conjunto final uno a uno, pudiéndose decir que hay el mismo número de elementos en el conjunto inicial que en el final.

EJEMPLO 15

en el diagrama de la figura:

todos los elementos de Y, que tienen origen, tienen un único origen, esto hace que la aplicación sea inyectiva

todos los elementos de Y, tienen origen, esto hace que la aplicación sea sobreyectiva.

Si tomaremos por conjunto inicial el conjunto de los números naturales:

y por conjunto final el de los números naturales pares:

EJEMPLO 16

 Seg´un los datos del enunciado,

f :A −→ B : f(1) = 1, f(2) = 3, f(3) = 4, f(4) = 2

y se observa que

∀a1, a2 ∈ A, a1 6= a2 =⇒ f(a1) 6= f(a2)

y

∀b ∈ B,∃a tal que a ∈ A ∧ f(a) = b

Consecuentemente f es inyectiva y sobreyectiva y, por tanto, biyectiva.

EJEMPLO 17

g(x)=x2 no es biyectiva pues al número 1 no es imagen de un único elemento en el dominio, de hecho es imagen de dos elementos; el 1 y el -1.

EJEMPLO 18

La función p(x)=2x tampoco es biyectiva como función de R a R. Pues, aunque tiene inversa (log2(x)), esta no está definida en todo R, pues no está definida para los negativos.Aún así, se dice que p(x)= 2x sí es biyectiva como función de R a R+ (los reales positivos).

EJEMPLO 19

f(x) = x + 8

A cada número real le corresponde un sólo número real que es 8 unidades mayor que él.

EJEMPLO 20

TODOS LAS  FUNCIONES LINEALES SON BIYECTIVAS  

RELACIÓN:

Una relación , de los conjuntos  es un subconjunto del Producto cartesiano

Una relación binaria  es una relación entre dos conjuntos.

El concepto de relación implica la idea de enumeracion, de algunos de los elementos, de los conjuntos  que forman tuplas

Un caso particular es cuando todos los conjuntos de la relación son iguales:  en este caso se representa  como , pudiéndose decir que la relación pertenece a A a la n.

Una función relaciona una entrada con una salida.

Ejemplo: este árbol crece 20 cm cada año, así que la altura del árbol está relacionada con la edad por la función a: a(edad) = edad × 20 Así que si la edad es 10 años, la altura es a(10) = 200 cm

Decir que "a(10) = 200" es como relacionar 10 con 200. O bien 10 → 200

Entrada y salida

Pero muchas veces es importante decir qué valores pueden entrar y pueden salir de una función.

Decimos que una relación es una función si para cada elemento del primer conjunto existe una única imagen. Si cada elemento del segundo conjunto es imagen de alguien, entonces la función es Sobreyectiva. Si cada elemento del segundo conjunto es, a lo sumo, imagen de un elemento del primer conjunto, entonces la función es Inyectiva. Si una función es sobreyectiva e inyectiva, entonces es Biyectiva.
En muchas ocasiones a cada elemento de un conjunto se le asigna un elemento particular de un segundo conjunto.

Definición 1. Sean A y B conjuntos. Una función f de A a B es una asignación de exactamente un elemento de B a cada elemento de A. Escribimos f (a)=b si b es el único elemento de B asignado por la función f al elemento a de f:A B A. Si f es una función de A en B, y se escribe 1 Matemáticas Discretas.

Por ejemplo suponer que a un grupo de carros se le asigna una letra del conjunto [A,B,C,D,G]. Suponer que se le asigna al Jaguar la A, al Audi la G, al Ferrari la D, al Porsche la B, y al Mercedes la A. La asignación se ilustraría así Jaguar Audi Ferrari Porsche Mercedes A B C D G.

Decimos que una relación es una función si para cada elemento del primer conjunto existe una única imagen. Si cada elemento del segundo conjunto es imagen de alguien, entonces la función es Sobreyectiva. Si cada elemento del segundo conjunto es, a lo sumo, imagen de un elemento del primer conjunto, entonces la función es Inyectiva. Si una función es sobreyectiva e inyectiva, entonces es Biyectiva.
En muchas ocasiones a cada elemento de un conjunto se le asigna un elemento particular de un segundo conjunto.
Definición 1. Sean A y B conjuntos. Una función f de A a B es una asignación de exactamente un elemento de B a cada elemento de A. Escribimos f (a)=b si b es el único elemento de B asignado por la función f al elemento a de f:A B A. Si f es una función de A en B, y se escribe 1 Matemáticas Discretas.

Por ejemplo suponer que a un grupo de carros se le asigna una letra del conjunto [A,B,C,D,G]. Suponer que se le asigna al Jaguar la A, al Audi la G, al Ferrari la D, al Porsche la B, y al Mercedes la A. La asignación se ilustraría así Jaguar Audi Ferrari Porsche Mercedes A B C D G.

EJEMPLO 6

calculamos el dominio y la imagen de esta función 

Dominio:
.
 

1.o Observando el eje OX, establecemos el primer valor de x y el último para el que está definida la función.

En este caso, el primer valor será x = -1, y el último, x = 8.

2.o Observando la gráfica de la función, determinamos los tramos y los puntos en los que no está definida la función.

No está definida en el intervalo [2, 3] y en el punto x = 5.

3.o Expresamos el dominio con los datos obtenidos.

Dom f = [-1, 8] - [2, 3] - {5}

Imágen:

1.o Observando la gráfica, establecemos en qué valores de y la función alcanza el máximo y el mínimo.

El mínimo lo alcanza en y = 0, y el máximo, en y = 5.

2.o La imágen de la función será el intervalo formado por esos valores.

Im f = [0, 5]


EJEMPLO 7

la relación puede ser de carácter económico, tiempo, científico, personal, etc. Para que una relación sea función los elementos del conjunto de salida tienen que tener una única relación con elementos del conjunto de llegada ; los elementos del conjunto de llegada pueden no tener relaciones o bien tener una o más relaciones.

Ejemplo: Analice los siguientes diagramas de Venn.

Solución:

Note que el presente diagrama de Venn, representa a una relación entre dos conjuntos el x (estudiantes) con el y(notas).

Como todos los elementos del conjunto x se relacionan con un único elemento del conjunto y, entonces afirmamos que el diagrama representa a una función (en este caso, una que relaciona a los estudiantes con las notas que obtuvieron en algún curso).

El diagrama anterior no representa a una función, ya que Carlos tiene dos notas y Gustavo no tiene una nota asignada.

Siguiendo con los ejemplos anteriores, se dice que la variable y se le llama variable dependiente de la variable x que se le llama variable independiente.

Sea D el conjunto de valores que puede tomar una variable independiente, y sea C el conjunto de valores para la variable dependiente. Si f es una relación de asociación entre los elementos de D y C, entonces D, C y f determinan una función, si f asigna a cada elemento x  D un único elemento y  C llamado f(x) o imagen de x bajo f.

Al conjunto D se le llama dominio , y a C se le llama codominio . Para designar que la relación f tiene dominio D y codominio C la cual asigna el valor x a f(x) se escribe:

Aclaremos las definiciones:

- Dominio: Son los elementos que forman el conjunto de salida (x) y tienen una única relación, con el conjunto de llegada (y).

D_f = {-1, 0, 1, 2, 3, 4}

- Codominio: Es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto de llegada (x).

C_f = {1, 4, 9, 16, 17}

- Rango o Ámbito: Se refiere a los elementos del codominio que sí poseen una o más relaciones con los elementos del dominio.

A_f = {1, 4, 9, 16}

También se pueden representar en lugar de conjuntos, en intervalos:

D_f = ]-, 4]

C_f = ]-5, -1[  ]5, +[

A_f = [-35, 10]

- Preimagen: Se refiere a un elemento del dominio que se relaciona con un elemento del codominio.

- Imagen: Se refiere a un elemento del codominio que se relaciona con uno o más elementos del dominio.

 Par ordenado: Es la forma de representar un punto, ubicándolo entre paréntesis de la siguiente forma: (a, b). Donde a es la preimagen y b la imagen.

EJEMPLO: 8
Si x = 9 y y = 10, entonces el punto se representa así: (9,10) .

Solución:

- Plano cartesiano: Consiste en dos rectas numéricas perpendiculares entre sí, el punto donde se intersecan es el par ordenado (0,0), llamado origen. En el origen podemos ubicar los pares ordenados y unirlos para observar el comportamiento de una función EJEMPLO  9 :Ubicar en un plano cartesiano los siguientes pares ordenados: (-5, -5) (-4, -2) (-2, 3) (-1, -3) (3, 1) (5, 5) Solución:

Nota: A las rectas que conforman el plano cartesiano se les llama ejes coordenados. Donde al eje que contiene a la variable independiente se le conoce como: eje de las accisas y al de la variable dependiente como: eje de las ordenadas.

GRÁFICA UNA FUNCIÓN: 

Dado el criterio de una función, esta se puede graficar en un plano cartesiano para observar su comportamiento.

EJEMPLO:10
 Grafiquemos la función: f(x) = x² - 1}^{Criterio de la función}

Solución:

1^er Paso: Con una cantidad limitada de números (preimagenes), los evaluamos en el criterio de la función, para obtener la imagen del punto. Y elaboramos una tabla de valores donde ubicamos los pares ordenados.

2^do Paso: Dibujemos en un plano cartesiano los puntos de la tabla anterior y trazamos una línea que los una.

Nota: La función f representa una función cuadrática la cual se verá más adelante. Es importante saber esto, ya que afecta la representación gráfica, la cual verdaderamente es:

¿Cómo se calcula una imagen?:

Nos dan el valor de la pre imagen, sustituimos en el argumento el valor de x por el de la pre imagen dada. Se resuelve la operación resultante y se obtiene la imagen de la función según la pre imagen.

Ejemplo:  11

Calcular la pre imagen de  para f(x) = .

Solución:

f(x) = , sustituimos x = .

=  = 1 - - 2 = 3.

R/ La imagen de  es 3.

- ¿Cómo se calcula una preimagen?:

Nos dan el valor de la imagen, se toma el argumento de la función y se iguala al valor de la imagen. Se resuelve la ecuación y se obtiene la preimagen buscada.

Ejemplo: Dado  f(x) = x + 3 , la preimagen de –2 es
 2

Solución:

x + 3 = -2
 2

x = -2 - 3
 2

x = -5•2

x = -10

R/ La pre imagen de -2 es -10.

 DOMINIO MAXIMO:

Si se describe la imagen bajo una función f , por medio de una fórmula algebraica y un codominio C sin especificar el dominio, esta función tendrá un dominio implícito que corresponde a todos los valores xtal que f(x) pertenezca al codominio; al conjunto de estos valore se le llama Domino Máximo.

- ¿Cómo obtener el dominio máximo de una función si me dan el argumento?:

1^er caso: Cuando hay letras (incógnitas) en el denominador, entonces se encuentra el valor donde el denominador se hace cero para descartar esos números del dominio.

Ejemplo:12

Sea f(x) = 6 + x , ¿cuál es el dominio máximo?
3 - x

Solución:

3 - x = 0

-x = -3

x = 3

R/ El dominio de f es  - {3}.

2^do caso: Cuando hay raíces pares, con letras dentro de ella, se buscan los valores donde la expresión dentro de la raíz sea mayor o igual a cero.

Ejemplo: Calcular el dominio máximo de f(x) = .

Solución:

2x - 6 ≥ 0

2x ≥ 6

x ≥ 6
2

x = 3

R/ El dominio de f es [3, + [.

EJEMPLO :   13  

Sea f(x) =  . Determine el dominio máximo de f .
x - 3

Solución:

Al evaluar es necesario que x + 4 ≥ 0 para que el radical exista, además se necesita también que el denominador x - 3 ≠ 0 . Lo anterior sucede cuando x ≥ -4 y x ≠ 3. Así se podrá hacer todas las operaciones si x  D_f = [-4, +[ - {3}.

Ejemplo  14:

    Determine el dominio máximo para f(x) = .

Solución:

De manera similar al ejemplo anterior, para que f(x) esté bien definida se requiere que el radical exista y esto pasa cuando  ≥ 0 . Se sabe que  =  . Entonces, recordando el proceso para resolver desigualdades, se busca los valores que anulan cada uno de los factores, los cuales son x = -3, x = 3 y x = -1. Para resolver la desigualdad  ≥ 0 se construye el cuadro de signos con los valores encontrados:



Esto significa que D_f = ]-, -3 ]  ]-1, 3].

Nota: Una función puede presentar ambos comportamientos, en diferentes intervalos de so dominio, entonces se afirma que la función es creciente en el intervalo I o que la función es decreciente en el intervalo I' .

EJEMPLO :  15

Es creciente desde: [0, +[

Es decreciente desde: ]- , 0]

Observe que en 0 se da el punto donde hay un cambio de monotonía que se incluye en ambos intervalos.

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES 

- Positiva:

Se dice que f es positiva si f(x) > 0 para todo x  D_f . La gráfica de una función positiva está por encima del eje x.

- Negativa:

Se dice que f es negativa si f(x) < 0 para todo x  D_f . La gráfica de una función negativa está por debajo del eje x.

- FUNCIÓN LINEAL:

Como su nombre lo dice, es una función cuya gráfica es siempre una línea recta.

Regla de correspondencia.

La regla de correspondencia que da lugar o establece la forma en que los elementos del primer conjunto se relacionan con el elemento (a los elementos, en caso de las relaciones), del segundo conjunto, puede representarse de diversas maneras. 

Tal como observaste en el manejo de las representaciones de las funciones. 

Explícitamente mediante el empleo de un diagrama sagital o tabla; también en la grafica y la relación matemática utilizada.

La clasificación que en principio nos resulta útil para asociar formas graficas con las analíticas, incorporando el conocimiento que tenemos acerca de ello, es agrupar las funciones según sus representaciones analíticas o ecuaciones que las define.

Regla de Correspondencia

Una correspondencia unívoca es una correspondencia matemática donde cada elemento del conjunto dominio se corresponde con solo un elemento del conjunto rango.

Una correspondencia biunívoca es simplemente una correspondencia univoca cuya correspondencia inversa también es unívoca. Es decir: cada elemento del primer conjunto se corresponde con solo un elemento del segundo conjunto, y cada elemento del segundo conjunto se corresponde con solo un elemento del primer conjunto.

Sean A y B dos conjuntos no vacios.

Una función de A en B, es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento x de A un único elemento y de B.

Se usan indistintamente los símbolos:

 ó 

 

para expresar que "f" es una función de A en B y que además, al elemento x de A, le corresponde el elemento y (imagen de x mediante f) de B.

Al conjunto A se le llama: dominio de la función y se denotará por el símbolo D(f). Igualmente, al subconjunto de B, formado por todas las imágenes de los elementos de A, se le llama: rango de la función y se denotará por el símbolo r(f).

Para los conceptos del cálculo que se desarrollarán posteriormente, los conjuntos A y B mencionados anteriormente son por lo general, subconjuntos de R, de esta forma la función:

  se llamará función real de variable real.

En lo sucesivo, cuando no se mencionen los conjuntos A y B de una función, sino, solamente la regla o correspondencia, entre sus elementos, se entenderá que tanto A como B son subconjuntos de números reales. En este caso, se dice que el dominio es el conjunto de números reales para los cuales tiene sentido la "regla" o "correspondencia", o mas precisamente, los valores para los cuales f(x) es un número real.

EJEMPLO  16: f(x) = x2+ 3x - 6

 Esta función es una regla de correspondencia que dice lo siguiente: "A cada 

número en el dominio de f se le relaciona con el cuadrado de ese número mas el 

triple de ese número menos seis". 

 Otra manera de ver esto es escribiendo la función de la siguiente manera:

 f ( ) = ( )2+ 3( ) - 6

Enseguida se muestran los valores de f para varios valores de ( 

). Es decir, se 

muestra la "salida" de la "máquina" para varios valores de la "entrada". 

f(x) = x2 + 3x - 6

f(10) = 124

f(-2) = -8

f(h + 1) = (h + 1)2 + 3(h + 1) - 6

f(x + b) = (x + b)2 + 3(x + b) - 6

f( ) = ( )

2 + 3( ) - 6

El dominio de una función puede ser especificado al momento de definir la 

función. 

 EJEMPLO  17, F(x) = 2x en el intervalo [-3,10] es una función cuyo dominio es 

el intervalo [-3,10]. A menudo no se especifica el dominio de una función 

definida por una ecuación, por ejemplo,

G(x) = 3x3 - 2x + 10

(Sin especificar el dominio)

Existen situaciones en las que se puede observar que dos magnitudes guardan 

una correspondencia tal que el valor de una de ellas dependa de la otra, como se 

puede apreciar en los siguientes casos: 

1. Si un objeto se mueve con una velocidad constante de 3 metros por segundo, 

desde una posición que dista 2 metros del punto de partida, las posiciones 

sucesivas pueden ser expresadas por la siguiente representación numérica: 

Tiempo   :  0             1                2               3                    4 

Posición :  2      2+3(1)=5   2+3(2)=8   2+3(3)=11   2+3(4)=14 

Los valores de la posición dependen de los valores del tiempo. 

2. La superficie que encierra una circunferencia dependerá de la medida del radio 

(

A =π r ).

3. El costo del recibo de luz dependerá de los kilowatts/hora consumidos en un 

mes. 

La dependencia que se observa entre dos magnitudes, puede ser expresada como 

ya se ha mostrado, por medio de una tabla de valores, o de una ecuación. 

Otra forma de expresar la relación de dependencia entre dos magnitudes es por 

medio de un conjunto de pares ordenados. En el curso de Matemáticas III, se 

definieron los lugares geométricos como un conjunto de puntos o pares ordenados 

que cumplen una cierta propiedad geométrica que se expresa mediante una regla 

en forma de ecuación, por ejemplo: Una parábola cuya ecuación es y

2=4x

puede ser expresada mediante un conjunto de pares ordenados o mediante una 

gráfica:

Pares ordenados: {(0,0), (1,2), (1,-2), (2, 2.82),(2,-2.82),(3,3.4),(3.-3.4)}