FUNCIÓN EXPONENCIAL.... Y LOGARITMO

Función exponencial

La función exponencial, es conocida formalmente como la función real e^x, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=e^x o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es deltipo exponencial en base a si tiene la forma

siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.

La función exponencial e^x puede ser definida de diversas maneras equivalentes entre sí, como una serie infinita. En particular puede ser definida como una serie de potencias:

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

x
1/8	-3
1/4	-2
1/2	-1
1	0
2	1
4	2
8	3

x
1/8	3
1/4	2
1/2	1
1	0
2	−1
4	−2
8	−3

BLOQUE 2 APLICAS FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSAFORMACIONES DE GRAFICAS

FUNCIÓN  INVERSA 

 

Definición : Sea f  una función de A a B, definida por f : A ® B. La función inversa de f   es una función que asigna a cada elemento b Î B un único elemento de a Î A tal que f (a) = b. La inversa se denota por f ^-1 o f^-1(b) = a donde f (a) = b. Una función tiene inversa si biyectiva.

No todas las funciones tienen inversa, para que exista se tiene que cumplir que para cada valor del recorrido de f , proviene de un único valor del dominio .

EJEMPLO:  1

Las gráficas de una función y su inversa son simétricas con respecto a la recta y=x

Ejemplo 2

 Sea g una función g : A ® B, y sea f  una función f : B ® C. La composición de funciones f  y g, denotada por f o g es definida por

 (f o g)(a) = f (g (a))

Función que asigna un elemento a Î A a elementos asignados por f a g(a).

EJEMPLO 3

• Sea f   : Z ® Z y g   : Z ® Z, definida por f (x) = 2x + 3 y g(x) = 3x + 2. Cuál es la composición de (f o g) y de (g o f).
• Sea f  0: R ® R, g : R ® R definida por f (x) = x^2, g(x) = x^2 + 5. Cuál es la composición de (f o g) y de (g o f).
• Sea f   : R ® R, g  : R ® R definida por f (x) = (x^2 + 1)/(x^2 + 2), g(x) =  (-3x^2 + 7). Cuál es la composición de (f o g) y de (g o f).

Si f ^-1(b) = a donde f (a) = b y f (a) = b donde f ^-1(b) = a, la composición de funciones es :

• (f ^-1 o f ) (a) = f ^-1 (f (a)) = f ^-1 (b) = a.
• (f o f^-1 ) (b) = f (f^-1 (b)) = f (a) = b.

En consecuencia f^-1 o f = iA  y f o f ^-1= iB donde iA y iB son la función identidad del conjunto A y B. Entonces(f^-1 )^-1 = f .

EJEMPLO 4:

 (Inversa a derecha e inversa a izquierda de funciones)   Sea  una función.

1. Una inversa a izquierda de  es una función  tal que .
2. Una inversa a derecha de  es una función  tal que .

La existencia de inversas a derecha e izquierda de una función es una caracterización de inyectividad y sobreyectividad:

EJEMPLO 5

Para :

1.  es 1-1 si y sólo si  tiene una inversa a izquierda.
2.  es sobreyectiva si y sólo si  tiene una inversa a derecha.

EJEMPLO 6

Si consideramos la función f: {(0,1), (1,2), (2,5), (3,10), (4,17)}, la cual es uno a uno, 

podemos definir ahora la función f -1: {(1,0),(2,1),(5,2),(10,3),(17,4)}. 

A esta segunda función que resulta del intercambio de su dominio y rango, se le 

conoce con el nombre de función inversa.

EJEMPLO 7

Obtención de parejas ordenadas y de la regla de correspondencia

La función y su inversa, gráficamente muestran una simetría con respecto a la recta 

y=x. Así, si expresamos la función y = 3x +5 como un conjunto de parejas 

ordenadas, obtenemos f ={(-2,-1), (-1,2), (0,5), (1,8), (2,11)}.

Las parejas ordenadas que definen a la correspondiente función inversa son: 

=

−1

f {(-1,-2), (2,-1), (5,0), (8,1), (11,2)}. 

EJEMPLO 8

 Para hallar la inversa de la función y = 3x + 5

1) Cambiamos el nombre de las variables: x = 3y + 5 . . . . . x=f (y) 

2) Despejamos la variable y; 

   y . . . . . . . . . . . . . . . y= f -1(x) 

EJEMPLO 9

Calcula la inversa de la función .

Primero intercambiamos la  y la  :  y después despejamos la :

Luego la función inversa de   es .

Vamos a comprobar que efectivamente es la inversa:

EJEMPLO 10

Dada una función f(x), su inversa es otra función, designada por f^-1(x) de forma que se verifica: si f(a) = b, entonces f^-1(b) = a

· Pasos a seguir para determinar la función inversa de una dada:

^_ Despejar la variable independiente x.

^_ Intercambiar la x por la y, y la y por la x.

La función así obtenida es la inversa de la función dada.

Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del 1.^er cuadrante y del 3.^er cuadrante.

EJEMPLO 11

 Hallar la función inversa de y = 5x - 2, y representar las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes.

Resolución:

· Se intercambian ambas variables:

_{EJEMPLO  12}

las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes.

solucion :

incluido el cero.

La función inversa de  es y = x².

EJEMPLO 13

ƒ Hallar la función inversa de y = -x + 4, y representar las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes.

solución

· Se despeja x : x = -y + 4.

· Se intercambian ambas variables:

y = -x + 4.

La función dada coincide con su inversa.

EJEMPLO 14:

Sea f(x) = 3x -5. Determinar la función inversa de f

La gráfica de la función lineal f es una recta de pendiente 3 y, por 

consiguiente, f es creciente en R. Entonces, f es biunívoca, y existe la función inversa, f

 Además, como el dominio y el contradominio de f es R, lo mismo es válido para f

EJEMPLO 15

Dos funciones f : A → B y g : B → A son inversas una de la otra

g ◦ f (x) = x para x ∈ A y

f ◦ g (y) = y para y ∈ B.

Para indicar esta situación se usará la notación g = f

−1

Una manera alternativa de expresar el hecho de que g es la inversa de f es la siguiente:

y = f (x) ⇐⇒ x = g (y).

EJEMPLO  16

 Hallar la función inversa de y = + 

, en su campo de existencia, y representar las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes.

SOLUCION

el campo de la existencia de la función es y =y2

son todos los numeros positivos incluiendo el 0

se  despeja  x: x =y2

se intercambian las variables y=x2

EJEMPLO 17

Hallar la función inversa de y = -x + 4, y representar las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes.

Resolución:

- Se despeja x : x = -y + 4.

- Se intercambian ambas variables:

y = -x + 4.

La función dada coincide con su inversa.

Ejemplo:18 Sea f(x) = 5.x + 2, para hallar la inversa cambiamos x por f(x) , y viceversa:

x = 5 f(x)-1 + 2 , despejamos f(x)-1 
  (es la inversa)

EJEMPLO 19

=> F(x)= 2-6x 
=> y = 2-6x
=> y+6x = 2
=> 6x = 2-y
=> x = (2-y)/6
Entonces la función inversa es:
=> f^(-1)(x) = (2-x)/6

EJEMPLO 20

FUNCIÓN  ESCALONADA

Sea f una función definida en un intervalo [a, b] y tomando valores en

R, f:[a,b] ¾® R;f es una función escalonada cuando existe una partición del intervalo [a, b] de modo que f toma valores constantes en el interior de cada uno de los intervalos de la partición.

Propiedades de la funcion escalon

Entre las propiedades de la función escalón se destacan; la multiplicación de un escalón por una constante, esto cambia la amplitud del escalón; desplazamiento en el tiempo, esto tiene por efecto desplazar en el tiempo la discontinuidad de la propiedad escalón, ya sea retrasando o adelantando su ocurrencia.

Escalón intervenido y combinación con una función. También, entre sus propiedades se clasifican más; cambio de signo del argumento H (-x) = 1 – h (x); la derivada en el sentido de  las distribuciones es la delta de Dirac   ; transformada de Laplace; la función primitiva  es la función rampa,  y por último, la integral de la función delta de Dirac,

La función de transformada de Laplace por ejemplo f (t) definida en ecuaciones diferenciales, o en análisis matemático o en análisis funcional para todos los número positivos t ≥ 0, es la función f (s).

Es así, como funciona la funcion escalon, sus aplicaciones en la vida cotidiana y su definición general, con estos pequeños datos sobre esta función se pueden desarrollar muchos de estos, además que sirve de base para que esta misma solución se lleve a cabo con mayor fluidez.

Las funciones escalonadas son funciones en las que, para una intervalo de x, se mantienen constantes y, cada cierto valor, aumentan (dan un salto). Su gráfica se parece a unas escaleras, por eso les llamamos "escalonadas". Un ejemplo de estas gráficas sería:

EJEMPLO 1

SITUACIONES EN LAS QUE APARECEN ESTAS FUNCIONES

Las situaciones en las que hay que hacer un pago por "hora o fracción" de uso de un servicio están representadas  por funciones escalonadas, ya que si usamos el servicio durante unos minutos, nos cobran la hora entera.

Por ejemplo, es el caso del parquímetro 

EJEMPLO 2

Estas función se define por partes, donde cada parte  corresponde  a una función constante

su representación  gráfica es :

La gráfica presenta una discontinuidad de saltos. Cada escalón es la gráfica de una 

función constante, es decir, que se trata de “funciones constantes por trozos”.

EJEMPLO 3

EJEMPLO  4

Se llama función constante a la que no depende de ninguna variable, y la podemos representar como una función matemática de la forma:

F(x)=a donde a pertenece a los números reales y es una constante.

Como se puede ver es una recta horizontal en el plano x y, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de x, si hacemos:

Y=F(x) entonces Y=adonde a tiene un valor constante, en la gráfica tenemos representadas:

para valores de a iguales:Y=8Y=4,2Y=-3,6

La función constante como un polinomio en x es de la forma 

Se dice que es constante porque su valor no cambia, a cada valor de x le corresponde siempre el valor a.

El Dominio de la función constante va hacer igual siempre a "Todos los Reales"Mientras que la imagen tan solo va hacer el valor de a.

Es una Función Continua.

¿Qué significa la recta representa por la función y=0?

Representa que la recta pasara por todo el eje X.

EJEMPLO  5

La función escalón unitario o función de Heaviside1.2     se define como Observación: la función de heaviside se definio sobre el intervalo , pues esto es suficiente para la transformada de Laplace. En un sentido más general  para .

EJEMPLO   6
Trazar la gráfica de la función .
Solución
La función  está dada por

y su gráfica se muestra en la figura 1.5

Figura 1.5

Cuando la función de Heaviside  se multilplica por una función , definida para , ésta función se desactiva en el intervalo , como muestra en siguiente ejemplo.


EJEMPLO  7:
Trazar la gráfica de la función .
SOLUCION
La función está dada por


EJEMPLO  8
Use la función de Heaviside para reescribir la función

Solución
Para reescribir la función basta usar la definición de la función Heaveside

Observación: la función

se escribe usando la función de Heaviside como

EJEMPLO  9

Usos más frecuentes de la función escalón

Esta función se define como la integral de la función impulso desde el infinito negativo hasta el tiempo. La integral de la función impulso es cero si el tiempo t es menor que 0, y 1 si el tiempo t es mayor que se define exactamente el escalón unitario.

Como ya se trajo a colación en el segundo párrafo esta función es utilizada ampliamente en ingeniería, de igual forma esta es utilizada normalmente para presentar variables en algún instante del tiempo, para esto se multiplica la función  escalón unitario por la función que define la variable en el tiempo.

En el caso de la función escalón, físicamente representa un cambio instantáneo que se produce a t=0, es una suposición el hecho de representar una función con tiempos negativos lo cual no existe, en cambio sirve para representar el caso de un interruptor que permanece abierto hasta que en un instante se cierra, estableciendo el máximo voltaje a una carga.




EJEMPLO  10




EJEMPLO 11

EJEMPLO   12

Consideremos la función más sencilla, por ejemplo . La imagen de cualquier número es siempre 2. Si

hacemos una tabla de valores tendríamos:

x    -2     -1    0   1    2

y     2       2    2   2    2

Por tanto si representamos todos esos valores, y más que podríamos calcular, todos están en el 2 y la

gráfica resulta una línea recta que corta al eje de ordenadas en el punto 2

EJEMPLO  13

Funciones crecientes, decrecientes y constantes

Definición:  Sea I in intervalo en el dominio de una función f.  Entonces:

1) f es creciente en el intervalo I si f(b)>f(a) siempre que b>a en I.

2) f es decreciente en el intervalo I si f(b)<f(a) siempre b<a en I.

3) f es constante en el intervalo I si f(b) = f(a) para todo a y b en I.

EJEMPLO  14

La función f(x) = 2x + 4 es una función creciente en los números reales

.

EJEMPLO  15

La función g(x) = -x³ es una función decreciente en los números reales.

EJEMPLO 16

y = n

El criterio viene dado por un número real.

La pendiente es 0.

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisa

EJEMPLO 17

Rectas verticales

las rectas paralelas al eje de las ordenadas n son 
funciones

ya que un valor de x tiene infinitas imagenes y para
 que sea 

funcion solo puede tener una. son de tipo

x = K

EJEMPLO 18

En la función f(x) = 2x + 4, la pendiente es 2, por tanto la gráfica es 
creciente en los números reales.  El dominio y el recorrido es el conjunto
 de los números reales.  El intercepto en y es (0,4)

EJEMPLO 19

1. f(x) = 7. Es de grado cero, se le conoce como función constante

EJEMPLO  20

FUNCIÓN  VALOR ABSOLUTO

Recordemos que la definición del valor absoluto surge de nociones geométricas, y se relaciona

 con los conceptos de longitud y distancia.La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|,

 y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula.

 . 

En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x.

 Su gráfica va a estar siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo.

Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o trozos)

 y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces (los valores de x).

2. Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa 

se cambia el signo de la función.

EJEMPLO  3

. Representamos la función resultante.

Veamos un ejemplo:

EJEMPLO 3

                       

EJEMPLO 4

Cualquier número a tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un número representa la distancia desde ese número al origen.

Observe en el dibujo que la distancia del 6 al origen es 6 unidades, igualmente la distancia del punto −6 al origen es 6. En notación, esto es |−6| = 6.

Las barras se leen como el valor absoluto de lo que esta dentro de ellas.

En el valor absoluto no importa en que lado de la recta real está representado el número.

De modo general, el valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, yopuesto de a, si a es negativo.

Analíticamente podemos ver que si a es positivo, es decir esta a la derecha del cero, entonces |a| = a y si está a la izquierda del origen, es decir si a es negativo, entonces |a| = −a.

Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real |a| está definido por:

Por definición, el valor absoluto de |a| siempre será mayor o igual que ceroy nunca negativo.

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real |a| es siempre positivo o cero, pero nunca negativo.

En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales |a − b| es la distancia entre ellos

EJEMPLO 5

a) 

b) 

Observe como el valor absoluto a una cantidad positiva la deja igual y a una cantidad negativa le cambia el signo.

c) Si x > 2 entonces | x – 2| = x – 2, pues x − 2 > 0. Dicho de otra manera, si la expresión a la que le estamos tomando valor absoluto es de signo positivo, el valor absoluto la deja igual.

d) Si x < 2 entonces |x – 2| = – (x – 2),  pues  x − 2 < 0 . Dicho de otro modo, si la expresión a la que le estamos tomando valor absoluto es de signo negativo, el valor absoluto la cambia de signo.

Ecuaciones con valor absoluto

Si x es una incógnita en la expresión |x − 3|, entonces no sabemos si x − 3 es positivo o negativo. Ahora bien, si tenemos la ecuación:

|x − 3| = 5

deberíamos considerar las dos posibilidades de signo. Es decir hay dos alternativas:

x − 3 = 5

o bien

x − 3 = −5 
La primera es en el caso de que x − 3 sea positivo, la segunda en la situación de que sea negativo.

Resolviendo las dos ecuación, tenemos que

x = 8 o bien x = −2

Efectivamente, estos valores de x satisfacen la ecuación: |x − 3| = 5

EJEMPLO 6

Resolver |x − 4| = 3

Hay dos posibilidades: x − 4 = 3  o bien x − 4 = −3.

Las soluciones de ellas son 7 y 1.

Veamos:

x − 4 = 3

x = 3 + 4

x = 7

o bien

x − 4 = −3

x = −3 + 4

x = 1

EJEMPLO 7

Resolver 3 |5 − 4x| = 9

Veamos:

Hasta ahora, sabemos resolver una ecuación con valor absoluto cuando el valor absoluto se presenta en el lado izquierdo, así es que lo llevamos a esta forma, dividiendo entre 3 ambos miembros de la ecuación:

De esta manera la ecuación dada es equivalente a:

|5 − 4x| = 3

Ahora,  esta ecuación en valor absoluto es equivalente a

5 − 4x = 3    o bien   5 − 4x = −3

Despejando x:

Si 5 − 4x = 3

−4x = 3 − 5

−4x = −2    /−1

4x = 2

Si 5 − 4x = −3

−4x = −3 − 5

−4x = −8    /−1

4x = 8

Las soluciones para la ecuación primitiva son  y 2.
Conocida esta respuesta, podemos representar el conjunto solución de nuestra ecuación 3 |5 − 4x| = 9 a través de la notación de conjunto como:

Recuerde que un valor absoluto siempre es mayor o igual a cero, nunca negativo ( ).

Propiedades fundamentales

	Propiedad multiplicativa
	Propiedad aditiva

Otras propiedades

	Simetría

Otras dos útiles inecuaciones son:

Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:

EJEMPLO 8

EJEMPLO  9

Observa la recta numérica:  

Los números +3 y –3 se encuentran a la misma distancia del cero.

 Ocurre así porque los dos números están

formados por el mismo número natural, el 3 , aunque con distinto signo.

 Al número 3 se le llama valor

absoluto  de +3 y –3, y se indica así:

                    |+3|    =   | -3 |   =   3

EJEMPLO 10

simplemente qué distancia hay de un número a cero:

"6" está a 6 de cero, y "-6" también está a 6 de cero. Así que el valor absoluto de 6 es 6, y el valor absoluto de -6 también es 6 EJEMPLO 11 El valor absoluto de -9 es 9 El valor absoluto de 3 es 3 El valor absoluto de -156 es 156 ¡No negativos! Así que en la práctica el "valor absoluto" significa quitar el signo negativo de delante de un número, y pensar en todos los números como números positivos. Símbolo de valor absoluto Para indicar el valor absoluto de algo, pones símbolos "|" a los lados, como en estos ejemplos: |-5| = 5 |7| = 7 Restar de las dos maneras No importa en qué orden hagas una resta, su valor absoluto siempre será el mismo: |8-3| = 5 |3-8| = 5 (8-3 = 5) (3-8 = -5, y |-5| = 5) EJEMPLO  12 EJEMPLO 13 EJEMPLO 14 EJEMPLO 15 EJEMPLO  16 EJEMPLO 17 EJEMPLO 18 EJEMPLO 19 EJEMPLO 20  f(x)=|x+3|. Para ocupar el programa de ocupó abs(x+3) Como podemos darnos cuenta, en el gráfico ocurrió un desplazamiento, del eje origen al -3. Esto es debido a que si se le suma un número dentro del valor absoluto, este se desplaza hacia el lado contrario (números negativos) tomando en cuenta la misma cantidad del número expresado. Por ejemplo, la gráfica esta desplazada hacia el lado de los números negativos 3 espacios  FUNCIÓN IDENTIDAD Dado el conjunto de funciones Φ={f:A⊆R⟶A⊆R }, existe Id∈Φ dada por Id(x)=x;∀x∈A y que verifica: Id∘f=f∘Id=f;∀f∈Φ, esta función la llamamos función identidad. toda funcion lineal creciente de l forma f(x)=x  se le llama funcion identidad  y su grafica es un linea recta  que interseca  a ambos ejes en el origen EJEMPLO